投稿画面からメディアを追加しようとするとボタンが反応しなくなりました。

原因は、FlashPlayer10。

こちらに詳しく書かれています。
Flash Player 10でFlashアップローダが動かなくなる・・・
WordPressで企業ウェブサイト作成・商用ホームページ制作 WordPress Go Go

今のところ対応策は、FlashPlayerのダウングレード。

ダウングレードの方法がこちらに詳しく書かれています。

Flash Playerをアンインストールして旧バージョンに戻す方法
GIGAZINE

自分で原因とか対応策とか書こうと思ったのですが、既にネットに公開されていたのでまとめるだけにしました。